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FORERO

Ciencia, Arte y Tecnología

QFT Quantum Feelings Theory

… Y bueno… Aquí estoy, explorando el fértil territorio de la mecánica cuántica, con la intención de propiciar desde el lenguaje y la técnica, conexiones….

… Lo hago con el fin de abusar del lenguaje, para encontrar(me).

 

La mecánica cuántica es un campo de la física que permite comprender y analizar la naturaleza de los átomos y partículas sub-atómicas.

A principios del siglo XX existieron diversos fenómenos que no pudieron  ser explicados desde la mecánica clásica (llamamos mecánica clásica, básicamente a la mecánica de Newton…).

El problema de la radiación del cuerpo negro era un ejemplo de aquello.  (Es interesante este problema, porque es un modelo que conecta, entre tanta cosas, el color de una cuerpo con su temperatura — Ya Wien había avanzado en esta relación para entonces…  )

El experimento es el siguiente:  Los científicos hacían incidir  radiación electromagnética (luz, por ejemplo) por un agujero, en un cuerpo capaz de absorber por completo la energía recibida. Imagine que el cuerpo negro está compuesto por un conjunto de resortes, que al recibir la “luz” se excitan y transfieren en la red ese incremento de energía. En esa transferencia, el cuerpo radia una energía que puede ser medida.

El experimento consiste por ende en: Dada un longitud de onda incidente conocida, medir la radiación remitida del cuerpo.

Si hacemos esto para cuerpo a distintas temperaturas (que suponemos constante) obtenemos:

 

Hasta entonces, en su formulación clásica, deducida de los principios termodinámicos y experiencias de Boltzmann, la ley de Rayleight-Jeans para la radiación de un cuerpo negro predice que:

Donde c es la velocidad de la luz, k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta.

Como  verá, esto hace que para longitudes de onda pequeñas  (recuerde que la frecuencia está relacionada con la longitud de onda según υ = c/λ) existiría un incremento ilimitado de la radiación, fenómeno que no se condice con la evidencia empírica. Esto es lo que los científicos de principios de siglo XX denominaron  la catástrofe del Ultravioleta.

 

 

Esta “inconsistencia”, no obstante se soslaya pensado el cuerpo negro como una colección de resortes que pueden vibrar solo a determinadas frecuencias, con una correspondiente energía asociada dada por la relación  de Planck E=hυ.

 

Como puede ver, la radiación de Planck se reduce a la ley de Rayleight-Jeans para bajas energías…

Esta misma idea de paquetes o “cuantos” permite explicar; el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton y las bandas de emisión/absorción de los gases, entre muchos otros fenómenos ya discutidos en ese entonces…

Pero qué significa esto?

Hasta ese momento, la idea que se tenia de la luz tenia que ver con una explicación ondulatoria.  Las teorías de Maxwell, describen de forma magistral  la existencia y el funcionamiento de los campos  electromagnéticos.

Y entonces surge esta dualidad onda corpúsculo que define de mejor modo la naturaleza de la luz…

De Broglie lleva esta dualidad mas allá e hipotetiza que las partículas materiales también son intrínsecamente onda y corpúsculos a la vez.

 

uffffffff!!!!!!

 

Si…Famoso es el experimento de la doble rendija, en donde se observa un patrón de difracción característico de las ondas…

El experimento consiste en lazar partículas atómicas a un blanco. En el trayecto las partículas pueden pasar por entre dos rendijas pequeñas separadas por una distancia comparable con la longitud de onda de la partícula lanzada.

 

 

 

Lo que se observa es que de alguna forma la partícula está en los dos lugares a la vez e interfiere consigo mismo…

Ademas, el experimento de la rendija nos revela que el observador juega un rol fundamental, pues no puede medir sin perturbar el sistema, por lo que sea como sea que preparemos el sistema, nunca podremos medir con certeza todas sus propiedades en un determinado momento.

Este cúmulo de fenómenos requerían ciertamente de un soporte matemático más sólido…

A versssss………

En términos clásicos, una onda satisface una ecuación diferencial del tipo;

Como sabrá, una solución muy popular es el movimiento armónico simple MAS

 

Para digitalizar lo anterior, utilizaré el entorno Unity3D y el lenguaje c# para visualizar los resultados.

NIVEL1… Esfera MAS.

Para programar esto en Unity3D, básicamente debemos actualizar la posición de tu objeto favorito.

private float x = 0;
public float w = 0;
public float A = 0;

void Update()
{
x = A * Mathf.Sin(w * Time.time);
transform.localPosition = new Vector3(x, 0, 0);
}

 

NIVEL 2… Ondas en una cuerda… (Más de MAS)

Para visualizar esto, necesitaremos poder contar con varios testigos, masitas u osciladores…

Una opción directa es utilizar las propiedades del LineRenderer para escribir cada vértice.

Parece sensato….

void Onda (Vector3 punto_inicio, float amplitud, float longitud_Onda, float velocidad)
{

float x = 0.f;
float y;
float k = 2 * Mathf.PI / longitud_Onda;
float w = k * velocidad;
RenderLinea1.positionCount = 200;

for (int i = 0; i < RenderLinea1.positionCount; i++){
x += i * 0.001f;
y = amplitud * Mathf.Sin(k * x + w * Time.time);
RenderLinea1.SetPosition(i, new Vector3(x, y, 0) + punto_inicio);
}

}

 

 

En este sentido, es interesante también visualizar la superposición (Interferencia) de ondas.

void Onda (Vector3 punto_inicio, float amplitud, float longitud_Onda, float velocidad)
{

float x = 0f;
float y = 1;
float y1 = 1;
float y2 = 1;
float y3 = 1;
float k = 2 * Mathf.PI / longitud_Onda;
float w = k * velocidad;
RenderLinea1.positionCount = 200;
for (int i = 0; i < RenderLinea1.positionCount; i++)
{
x += i * 0.001f;

y1 = Mathf.Sin(k * x + w * Time.time);
y2 = Mathf.Sin(k * x / 2 + w * Time.time / 2);
y3 = Mathf.Sin(k * x / 3 + w * Time.time / 3);

y = y1 + y2 + y3;

RenderLinea1.SetPosition(i, new Vector3(x, A*y, 0) + punto_inicio);
}
}

 

Sumando ondas es posible crear paquetes, lo que en mecánica cuántica cobra vital importancia por interpretarse como portadores del estado de un sistema. En el fondo se trata de sumar ondas que permitan localizar una perturbación.

De manera general podríamos buscar soluciones de ondas (ondas planas) del tipo:

 

 

  • si pue…. Ya nos había iluminado el pulento Euler para entonces!!! Por si no se acuerda de esta maravillosa contribución al conocimiento ….

 

 

Podríamos así tomar un paquete de estas ondas planas (muchas ondas con distintas frecuencias).

 

Definiendo como condición inicial (forma inicial de la onda) una función Gaussiana (distribución normal), por ejemplo podemos calcular mediante la transformada de Fourier de la función (que es otra Gaussiana  — arwww—) , los coeficientes A(k).

Así, la función de onda en un medio no dispersivo quedaría;

 

NIVEL 3: Paquete de Onda en un medio NO dispersivo.

public float longitud_Onda = 0.1f;
public float velocidad = 1f;
public float amplitud = 1f;
private LineRenderer RenderLinea1;

void Start()
{
RenderLinea1 = gameObject.GetComponent<LineRenderer>();
}

void Update()
{
Onda(new Vector3(0, 0, 0), 4, longitud_Onda, velocidad);
}

void Onda (Vector3 punto_inicio, float amplitude, float longitud_Onda, float velocidad)
{

float x = 0f;
float k = 2 * Mathf.PI / longitud_Onda;
float w = k * velocidad;
float real;
float imaginario;
float gaussian;
RenderLinea1.positionCount = 200;

for (int i = 0; i < RenderLinea1.positionCount; i++)
{
x += i * 0.001f;

gaussian = Mathf.Exp(-1 * Mathf.Pow((x – longitud_Onda * Time.time), 2));
real = gaussian * Mathf.Cos(k * (x – velocidad * Time.time));
imaginario = gaussian * Mathf.Sin(k * (x – velocidad * Time.time));
RenderLinea1.SetPosition(i, new Vector3(x, amplitud * real, 0) + punto_inicio);

}
}

 

Si graficamos también la componente imaginaria y lo vemos con una cámara ortogonal obtenemos:

Se ve terrible de charcha eso si…..

Intentemos algo un poco mejor disponiendo algún elemento 3D en cada vértice…

public GameObject mi_prefab;
private GameObject[] objeto;
public float amplitud = 1f;
public float longitud_Onda = 1f;
public float velocidad = 1f;

void Start()
{
objeto = new GameObject[1000];
for (int x = 0; x < 1000; x++){
objeto[x] = Instantiate(mi_prefab, transform);
}
}

void Update(){

float k = 2 * Mathf.PI / longitud_Onda;
float w = k * velocidad;
float real;
float imaginario;
float gaussian;

for (int a = 0; a <1000; a++){

float x =+ a * 0.01f;

gaussian = Mathf.Exp(-Mathf.Pow((x – velocidad * Time.time), 2));
real = gaussian * Mathf.Cos( k * (x – velocidad * Time.time));
imaginario = gaussian * Mathf.Sin(k * (x – velocidad * Time.time));
objeto[a].transform.position = new Vector3(x, amplitud * real, amplitud * imaginario);

}

}

Mucho mejor!!!!!!

De la misma forma, programé un paquete de ondas en un medio dispersivo y obtuve:

 

De manera análoga a la ecuación de onda clásica, tomando los argumentos de Planck E= hυ y De Broglie P=h/ λ, tenemos que las partículas cumplen con la ecuación de Schrödinger.

 

 

Así para una partícula en el espacio libre, en donde la energía potencial U del sistema es nulo, tendríamos:

La idea es buscar soluciones  a esta ecuación que sean de cuadrado integrable y que la integral sobre el módulo cuadrado de la función sea 1 (osea buscamos operadores Hermíticos). Esto es muy importante, dado que en mecánica cuántica, interpretamos el módulo cuadrado de la función de onda como la probabilidad de encontrar una partícula en un determinado estado.

 

Como intuirá, el conceptos de un partícula en un medio nos lleva al concepto de campos vectoriales, por lo cual es importante contar algún soporte en este sentido….

El estado de un sistema físico puede ser identificado por un vector en el espacio de Hilbert complejo. Utilizando la notación bra-ket de Dirac, un estado cuántico de un sistema puede ser descrito por un ket del tipo: \begin{displaymath}\vert\alpha > \end{displaymath}

si  $ \vert\alpha_{1}> $ y  $ \vert\alpha_{2}>$ son ambos posibles estados del sistema, entonces su superposición también lo es (como las ondas, recuerda…)          \begin{displaymath}\vert\psi> = c_{1} \vert\alpha_{1}> + c_{2} \vert \alpha_{2}>, \end{displaymath}

En general, el numero de vectores independientes necesarios para describir cualquier otro estado del sistema, corresponde a la dimensión del mismo.

Dirac define también un espacio dual al mundo de los vectores Ket llamados vectores Bra   $ <\alpha\vert $.

\begin{displaymath}c_{1} \vert\alpha_{1}> + c_{2} \vert \alpha_{2}> \Longleftrightarrow c^{*}_{1} <\alpha_{1}\vert + c^{*}_{2} <\alpha_{2}\vert \end{displaymath}

en donde c* es el conjugado del numero complejo c.

(No me diga que no es bakana la notación) Lo pulento, es que entre otras cosas, podemos escribir el producto punto (o producto interno ) como

\begin{displaymath}<\alpha \vert \beta> \equiv (\vert\alpha>,\vert\beta>). \end{displaymath}

Y el producto cruz como  \begin{displaymath}\vert\alpha ><\beta \vert. \end{displaymath}

 

Como recordará, el producto cruz entre dos vectores tiene como resultado una matriz.

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\left(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m}\right)\\\mathbf {v} &=\left(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\right)\end{aligned}}}

{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}}

 

En mecánica cuántica estas matrices son promovidos a Operadores y entre ellos se buscan algunos (los Hermíticos u Auto-Adjuntos) que cumplen con:

\begin{displaymath}X \, \vert a> = a\vert a> \end{displaymath}

en donde  a, son los valores propios del operador X  y   \begin{displaymath}\vert\alpha > \end{displaymath}  sus vectores propios (o auto-estados), y que en la teoría son interpretados como cantidades físicas observables!

Arwwwww…..  Se preguntará de que chucha estoy hablando.!!!

Vamos de nuevo…

la materia nos dice que es intrínsecamente dual Onda- Corpúsculo. Para esto formulamos algunas hipótesis (Planck, De Broglie…) y deducimos una ecuación (la ecuación de Schrödinger), que tiene entre sus soluciones paquetes de ondas que llevan la información del estado de la partícula o sistema que se está observando.

En este sentido aprovechamos la notación de Dirac que nos permite tener herramientas para el análisis matemático e interpretación física de los fenómenos estudiados.

Por ejemplo , en  {\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }  podríamos decir que A (observable) es  el operador de energía, momentum u otro y lo que buscamos son los auto-valores a (valores propios)  asociados a un conjunto de vectores propios {\displaystyle |a\rangle }.

La probabilidad de medir dicha magnitud a es,

Como consecuencia de este postulado el valor esperado  para el operador A será:

Se llama incertidumbre a la raíz cuadrada de la varianza. Ésta se calcula como:

Arwwwww………rico, suave…….

 

Entonces, por ejemplo, volviendo al caso del oscilador armónico simple. Imagine una partícula en el espacio sometida a fuerzas elásticas (c en el dibujo) que hacen que la partícula vibre.

 

\begin{figure}\centering % \htmlimage{extrascale=3,notransparent}{} \setlengt... ...put(37,79){$c$} \put(-24,62){$c$} \put(25,37){$c$} \end{picture} \end{figure}

 

Como dijimos, la experiencia nos dice que el sistema NO vibra a cualquier frecuencia (energía), sino que mas bien esos valores y estados están cuantificados.

Recuerde también que como dijimos, la ecuación de Schrödinger para estados estacionarios, se resuelve buscando los auto-valores y auto-funciones para esos valores tales que:

{\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle }

 

\begin{displaymath} \left[- \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\part... ...e\frac{1}{2}}c \left(x^2+y^2+z^2\right) \right] \psi = E \psi \end{displaymath}

 

Buscaremos soluciones del tipo (para que podamos separar las variables…)

\begin{displaymath} \psi = \psi_x(x) \psi_y(y) \psi_z(z) \end{displaymath}

Esto hace que:

 

\begin{displaymath} \begin{array}{l} \displaystyle \rule[-1ex]{0pt}{2ex} E = ... ..._z''(z)}{\psi_z(z)} + {\textstyle\frac{1}{2}}c z^2 \end{array}\end{displaymath}

 

Entonces el problema es independiente en cada dimensión.

 

\begin{displaymath} \left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + {\textstyle\frac{1}{2}} c x^2 \right] \psi_x = E_x \psi_x \end{displaymath}

 

\begin{displaymath} \begin{array}{ll} \strut^{\strut} E_{x0} = \frac12 \hbar \... ...ega & \psi_{x2}(x)=h_2(x) \\ \;\vdots & \;\vdots \end{array}\end{displaymath}

 

o bien,

\begin{displaymath} E_{xn_x} = \frac{2n_x+1}2 \hbar \omega \quad \mbox{for } n_x = 0, 1, 2, 3, \ldots \end{displaymath}

en donde:

 

\begin{table}\begin{displaymath} \renewedcommand{arraystretch}{2.9} \begin{arr... ...} \end{array} \\ [1 in]\hline\hline \end{array} \end{displaymath} \end{table}

con $\ell$ = $\sqrt{\hbar/m\omega}$

 

Así, la energía total (que es finalmente lo que observamos cuando medimos) de un oscilador armónico es

\begin{displaymath} E_{n_xn_yn_z} = \frac{2n_x+2n_y+2n_z+3}2\; \hbar \omega % \end{displaymath}

Como verá el nivel base no es nulo!!!!!

\begin{displaymath} E_{000} = {\textstyle\frac{3}{2}} \hbar \omega \end{displaymath}

Arwwwww, esto nos dice que las partículas no están nunca detenidas…..

Los valores de energía pueden ser dispuestos como un espectro de energías que representa los estados disponibles para un determinado valor energético.

 

\begin{figure}\centering \setlength{\unitlength}{1pt} \begin{picture}(280,20... ...3\ \ \ 0\ \ \ 1\ \ \ 2\ \ \ 2\ \ \ 1\ \ \ 0\ \ \ 1}} \end{picture} \end{figure}

Los auto-estados asociado a cada energía correspondientes serán del tipo ;  \begin{displaymath} \psi_{n_xn_yn_z}=h_{n_x}(x) h_{n_y}(y) h_{n_z}(z) % \end{displaymath}

 

\begin{displaymath} \Psi_{\mbox{gs}}=c_{000} h_0(x) h_0(y) h_0(z) \end{displaymath}

 

Entonces, como hemos dicho, lo interesante es conocer la magnitud al cuadrado de esta función, dado que la interpretamos como la densidad de probabilidad de encontrar la partículas en una determinada región del espacio.

ya, ya, ya…….

Para esta parte, utilizaremos el software open source Pure Data, con el fin de poder integrar audio al proyecto…

Mi idea inicial es utilizar las energías posibles, la relación entre ellas y la cantidad de estados posibles por cada nivel.

Así, en un primer acercamiento, propongo un sistema que en virtud del valor de  ħ  pueda generar  sonido un sonido formado con cuatro frecuencias dadas por los primeros 4 niveles de energía de un oscilador armónico cuántico.

Hermoso!!!! Vemos que pasa si mejor secuencio por separado cada una de las frecuencias.

 

Ahora bien, podríamos también, envés de secuenciar los sonidos según las energías del MAS, hacer que cada una de ellas controle los parámetros de un paquete de onda creado por una frecuencia modulada.

algo así….

 

Ajustando un poco los parámetros y haciendo que  ħ tome valores al azar, cercanos a 1, llegamos a un máquina que parece reproducir un bajo.  El cuarto nivel de energía fue enviado como mensaje MIDI al software  Ableton LIVE con el fin de controlar una progresión de un sintetizador.  Por último, incorporé una secuencia de beats a 120 bpm, con el fin de crear una composición algorítmica.

 

Dada la pandemia del COVID y el mal manejo de nuestras autoridades, en Chile (lugar donde me encuentro), llevamos 5 meses de cuarentena!!!

Ciertamente todo esto lo estoy escribiendo para no volverme loco….

A la casa llegaron flores! Hermosas Flores.

Todos nos pusimos muy contentos al ver sus colores y sentir sus aromas.

Mis hijos comenzaron a indagar y hacer preguntas sobre su origen y estructuras.

Por qué son como son?

Yo ciertamente no tengo esa respuesta pensé, pero quizás  esa flor es solo un estado de los estados posibles de esa flor. Todas las funciones que hacen que la semilla sea en potencia dicha flor, colapsaron en un estado para dar origen a esa ser…

Me puse entonces a pensar en como poder tener un generador de flores, que me permitiera hacer transiciones entre los distintos niveles posibles.

Para esto trabajé bajo la luz del maestro Iñigo Quiles (Gracias por tu aporte al conocimiento loco!!!).

Este shader fue trabajado de forma tal de poder representar los 19 estados posibles, para los 4 primeros niveles del Oscilador Armónico Simple.

Así, en el primer nivel tenemos una única posibilidad….. Ser una semilla…..

 

 

En el segundo nivel tenemos 3 posibilidades.

Tercer Nivel

 

 

Cuarto Nivel

Juntando perras con manzanas..

Lo siguiente fue incorporar la visualización de los paquetes de Ondas con el fin de crear un ambiente inmersivo 360.

Quizás piense que todo esto es un abuso…. y tiene razón….se lo advertí…..

No podría terminar sin antes componer una interfaz para controlar todo esto…….

Esta interfaz me permite controlar todo lo visto mediante un fragmento de un poema del inspirador Richard Feynman.

There are the rushing waves
mountains of molecules
each stupidly minding its own business
trillions apart
yet forming white surf in unison.

Ages on ages
before any eyes could see
year after year
thunderously pounding the shore as now.
For whom, for what?
On a dead planet
with no life to entertain.

Never at rest
tortured by energy
wasted prodigiously by the sun
poured into space
A mite makes the sea roar.

Deep in the sea
all molecules repeat
the patterns of one another
till complex new ones are formed.
They make others like themselves
and a new dance starts.

Growing in size and complexity
living things
masses of atoms
DNA, protein
dancing a pattern ever more intricate.

Out of the cradle
onto dry land
here it is
standing:
atoms with consciousness;
matter with curiosity.

Stands at the sea,
wonders at wondering: I
a universe of atoms
an atom in the universe.

Richard P. Feynman
(1918-1988)

 

 

y bueno…..en sus propias palabras…

” I gotta stop somewhere. I leave you something to imagine.”

 

Suerte!

MARICHIWEU!!!!